この記事は、心理系大学院生を対象とした統計法の学習ページです。
- 共分散構造分析ってなに？
- パス解析の求め方について勉強したけどよくわからない
こんな悩みや疑問がある方はご参考ください( ˘ω˘)
共分散構造分析とは
共分散構造分析とは、パス解析を行う際に、標本共分散行列と共分散構造の相違度が最小になるような値を求める方法のことです。
「(7.5)式の相違度を最小にするパラメータの具体的数値を求めることを計算原理とし、共分散構造分析という総称の傘下におさめることができる」
（引用：多変量データ解析法, P67.［7.2.標本分析と共分散構造の相違の最小化］15－17行目）
これは考え方としては、最小二乗法に近いのかなと思いますが、
これだけではよくわからないと思うので、まずはイメージで捉えてみましょう(^^)
イメージで理解する〜UFOキャッチャー〜
共分散構造分析のイメージを、身近な例に例えてお伝えします。
そこで！
まずは、⇩こちらのUFOキャッチャーに挑戦してみてくださいw
※現在動作調整中ですm(_ _)m
🕹️ UFOキャッチャー
コインを入れてスタート
景品は取れましたか？（笑）
これはどういうことかというと・・・
例えば、あなたは、景品の真上に来るように、アームを動かしましたよね？
しかし、実際には、景品がピタリと重なる位置にアームを止めても、景品が取れなかったのではないでしょうか？
これが、「あなたの予測（共分散構造）」と「商品の実際の位置（標本共分散行列）」のズレです。
そこで、あなたは、景品を取るために「アームを止める位置」といった設定（パラメータ）を微調整していくことで、景品とのズレを小さくするように試行錯誤しましたよね？
そして、そのズレが最小になった時に、あなたは「景品をゲットできた」わけです。
それこそが共分散構造分析なのです( •´ω•` )ﻭﾄﾞﾔｯ
具体的な計算方法
では、イメージが分かったところで、実際の共分散構造分析の原理を追ってみることにします。
ここからは、過去記事で扱ってきた以下のパス図を使って読み解いていきましょう(^^)
共分散構造とは？
具体的にはパス図から示すことができる共分散の理論式の表のことをいいます。
「共分散構造とは、モデル(7.1)式から導かれる共分散の理論式を集めた表」
（引用：多変量データ解析法, p65, 最終行-p66, 1行目）
これを共分散構造としてあらわしたのが、以下の表です。
ここで大事なのは、共分散構造というのは「文字式の表」ということです。
これがつまり「理論式」であるということです。
ただし、この式の求め方を我々は覚える必要はありません。
「読者は表7.1(B)の式の導出法を理解する必要は全くなく、単に(B)の式がすべて(7.1)式に現れるパラメータ（アルファベット記号）に基づくことを察するだけでよい」
（引用：多変量データ解析法．p66. 1-3行目）
標本共分散行列とは？
そして、標本共分散行列は以下のようになります。
※適当に入れた仮の値です
これで、共分散構造分析に必要な材料がそろいました。
そして、具体的には以下のように計算していきます。
「1.83 と V3 の相違」＋「6.38 と b1V3 の相違」＋「12.65 と b2V3 の相違」・・・＝最小
このように、共分散構造と標本共分散行列の対応している部分のズレをそれぞれ求め、それらを足し合わせた総和が最小になるような値を求めます。
ね？
最小二乗法に似てるでしょ？（笑）
これが共分散構造分析の原理です。
「(7.4)式を、成績データから離れて、一般的な表現で記せば、
(A) 標本共分散行列と(B) パラメータの関数である共分散構造の相違度(7.5)
と表せよう。4章－11章の分析法は、すべて(7.5)式の相違度を最小にするパラメータの具体的数値を求めることを計算原理とし、共分散構造分析という」
（引用：多変量データ解析法, P67.［7.2.標本分析と共分散構造の相違の最小化］1３－17行目）
ちなみに対応している部分というのは以下のとおりです。
注意点
また、やはり以下のように、これは最小二乗法により相違度を求める方法のようですね！
他には最尤法がありますが、ここでは触れません。
「相違度」の正式な数式による定義法は幾通りかあり、これらは最尤法と呼ばれるものに基づく定義と、最小二乗法に基づく定義に大別されます。前章から10章までの記述は、「変数が多変量正規分布という理論分布に従う」ことを仮定したうえで最尤法を用いることを前提にしています。
（引用：多変量データ解析法, P67.［7.2.標本分析と共分散構造の相違の最小化］18－21行目）
まとめ
いかがでしたでしょうか？
共分散構造分析について少しは理解が深まったでしょうか？
最後に本記事の内容を振り返っておわかれです(^^)/
・共分散構造分析とは、標本共分散行列と共分散構造の相違度が最小になるような値を求める方法のこと
・相違度の定義には、最尤法に基づくものと最小二乗法に基づくものがある
ということなんですね～
それではまた(^^ゞ
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