クリタマです。
今日も今日とて必死に気触れていきたいと思います。
ということで、これまでの統計シリーズでは「t検定」について必死こいて記事を増やして参りましたがこのエントリーからいよいよ新章に入りたいと思います。
その名も「分散分析」です。
よって、このエントリーを読むことで
- 分散分析ってなに？よくわからん
- 分散分析？は？なにそれ？
という疑問をお持ちの方に役立つ記事となっています。
よろしくどうぞ。
分散分析とは
端的に言えば、分散分析とは「3群以上の平均値の差の比較」をする際に用いられる分析手法のことです！
「差の比較」と言えば、「t検定」を思い出すかもしれませんが、t検定の場合「２群での平均値の差の比較」をするという点が分散分析と異なります。
具体的に考えてみましょう。
例えば
精神障害と発達障害との間で、「他者意識」の程度が統計的に違いがあるか？という調査をするとします。
「他者意識」については、過去のエントリーを参照してください。
この場合、「精神障害のグループ」と「発達障害のグループ」の２グループでの「他者意識」という得点の「平均点の比較」になるので、用いられる検定は「t検定」です。
例えばこんなデータから平均点を比較する場合ですね。
では、この比較に、健常者グループが加わったらどうなるでしょうか？。
得られた値は以下だったとしましょう。
この場合だと、精神障害・発達障害・健常者の3つのグループでの平均値の比較になるので「分散分析」を用いるということになりますね。
分散分析の考え方
では、この例に沿って、分散分析はどのような比較を行うのか、それを説明していくとしましょう。
そのために、まず初めに各グループのヒストグラムを描くことにします。
すると、↑↑↑こんな風になりますね？
では、ここに、３グループの全体平均の値を加えてみます。
全体平均は
(44+38+25)/3=35.66
なので
↑↑↑このあたりが全体平均ということになりましょう。
これで準備が整いましたのでこの図を踏まえて、分散分析の考え方を確認していきます。
では、健常者グループ中のデータからサンプルを1つ抜き出して考えてみることにしましょう
健常者Aさんの他者意識の値は「41」です。
すると、このグラフ図においては、↓↓この辺りに位置します。
ですから、このAさんの「41」という値は、全体平均である「36」から下図の矢印の距離、つまり、「5」だけ「ズレがある」ということになります。
では、この「全体平均」からの「Aさんの他者意識のズレを」これを細かく分解するとどうなるでしょうか？
結論から言うと
- ①「健常グループの平均」からの「Aさん」のズレ
- ②「全体平均」からの「健常グループの平均」のズレ
を足したものが、「全体平均」からの「Aさん」のズレになります。
そして、前者を「群内のズレ」、後者を「群間のズレ」と呼びます。
よくわからんと言う方もいると思うので、もう少し詳しく見てみることにしましょう。
まずは、①「健常グループの平均」からの「Aさん」のズレ（群内のズレ）について説明します。
健常の平均は「38」で、Aさんは「41」なのですから、矢印で示した範囲がこのズレに該当します。
つまり、ズレは「3」ということです。
次に、②「全体平均」からの「健常グループの平均」のズレ（群間のズレ）です。
健常の平均は「38」で、全体は「36」なのですから、下図の矢印で示した範囲がこのズレに該当します。
つまり、ズレは「2」ということです。
したがって、
全体平均からのAさんのズレ＝①「健常グループの平均」からの「Aさん」のズレ（群内）＋②「全体平均」からの「健常グループの平均」のズレ（群間）
と説明することができます。
図で以下の通りですね。
帰無仮説を棄却するか否かについて
それでは最後に、重要なことを確認しておきます。
帰無仮説を棄却するか否かについての判断についてです。
ここまで説明してきた、「群間のズレ」は、「全体の平均」と「健常グループの平均」の「距離」をあらわしたものでした。
つまり、「グループ間のズレ」ということであり、「この値が大きいほど、平均の値が異なる」ということを意味します。
先ほどの図で言うと、「縦に引いた赤線」同士が大きく離れているイメージです。
一方、「群内のズレ」は、「健常グループ平均」と「健常グループに含まれるAさんの値」との「距離」をあらわしたものでした。
つまり、「グループ内でのズレ」ということであり、「この値が大きいほど、個人差が大きい」ということを意味します。
ということは
- 群内のズレ＜群間のズレ
ならば、帰無仮説を棄却することになります。なぜなら、グループ間の違いが大きいことを意味するからです。
一方、
- 群内のズレ＞群間のズレ
ならば、帰無仮説を棄却することはできません。なぜなら、グループ間の違いが大きいとは言えないからです。
分散分析はこのような流れに沿ってなされます。
ただし、今回は、「健常グループ」の「群間のズレ」と「群内のズレ」しかみていませんが、実際に分散分析をする場合は、「すべてのグループ」に対して、「これらのズレ」を計算していく必要があります。
上図で言えば、「黒の矢印の総和」が「群間のズレ」であり、「青の矢印の総和」が「群内のズレ」ということになります。
ですから、両者を比較して、その大小によって、「帰無仮説を棄却するか否か」を判断するということです。
次回は、「エクセルを使った分散分析のやり方」についてです
参考書
①p値とは何か
②統計学がわかる ③やさしく学ぶ統計の教科書 ④よくわかる心理統計
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